Mesure Quantique

March 1, 2025

La mesure est l’opération qui permet d’obtenir une information d’un qubit sur un registre classique. C’est donc l’une des opérations les plus importantes en informatique quantique.

Tout d’abord, il faut savoir qu’une mesure s’effectue à l’aide d’un opérateur, que nous noterons $\mathcal{O}$. Pour être valide, cet opérateur doit être hermitien :

$$ \text{Si } \mathcal{O}^{\dagger} = \mathcal{O} \text{ alors } \mathcal{O} \text{ est }\textbf{hermitien} $$

Une fois que nous avons établi cette propriété, l’opérateur $\mathcal{O}$ est qualifié d’observable. Pour effectuer une mesure, il convient alors de suivre les étapes suivantes :

Déterminer les valeurs et vecteurs propres de l’observable.
Pour rappels si : $$ \mathcal{O}\ket{\phi} = \lambda\ket{\phi}\\ $$ Alors : $$ \begin{cases} \lambda \;\;\;\textbf{ valeur propre}, \\ \ket{\phi} \textbf{ vecteur propre}. \end{cases} $$ On va chercher pour chaque valeur propre $\lambda$ à créer un espace vectoriel $E_\lambda$ aillant pour base les vecteurs propre associer a cette valeur propre. $$ E_\lambda = Vect\{\ket{\phi_0}, \cdots, \ket{\phi_n}\} $$ où les $\ket{\phi_i}$ sont les vecteurs propres correspondant à la valeur propre $\lambda$.
Définir les projecteurs associés.
On définit le projecteur $P_\lambda$ par : $$ P_\lambda = \sum_{\ket{\phi_i} \in \mathcal{B}(E_\lambda)} \ket{\phi_i}\bra{\phi_i} $$ où $\mathcal{B}(E_\lambda)$ représente la base de l’espace $E_\lambda$. Les projecteurs ainsi définis correspondent aux opérateurs que l’on applique sur le qubit à mesurer.

Note

Les projecteurs $P$ respecte la propriété $P^2 = P$.
Opération de mesure.
Il est maintenant temps d’appliquer notre mesure sur une fonction d’onde que l’on appellera $\ket{\psi}$. Avant de procéder à cette opération, il est essentiel de bien comprendre son principe.
Nous partons d’une fonction d’onde $\ket{\psi}$, qui est un vecteur dans un espace $A$. Appliquer une mesure sur $\ket{\psi}$ revient à projeter ce vecteur dans un nouvel espace.
L’espace vers lequel $\ket{\psi}$ sera projetée est l’un des $E_\lambda$, avec une probabilité déterminée. Pour réaliser ce changement de base, il suffit d’utiliser les projecteurs que nous avons calculés au préalable. En résumé, l’opération peut être illustrée par l’arbre suivant :

Cependant, appliquer un projecteur $P_{\lambda_i}$ ne conserve pas la norme du vecteur. Cela signifie que, après l’application du projecteur, le vecteur ne restera plus sur la sphère de Bloch, ce qui empêche une nouvelle mesure de notre fonction d’onde $P_{\lambda_i}\ket{\psi}$. C’est pourquoi l’arbre de mesure doit être modifié, comme illustré ci-dessous : Arbre complet de la mesure

Grâce à cette multiplicaiton par l’inverse de la probabilité, notée $\mathbb{P}(E_{\lambda_i})$ d’appliquer notre projecteur, la norme reste la même.
Cette probabilité est donnée par la formule suivante :

$$ \mathbb{P}(E_{\lambda_i}) = \dfrac{\bra{\psi} P_{\lambda_i} \ket{\psi}}{\bra{\psi} \ket{\psi}} $$

Note

Dans le cas où $\ket{\psi}$ est normalisé, $\bra{\psi} \ket{\psi} = 1$.

En suivant ces étapes, vous pourrez réaliser la mesure. Le seul détail que j’ai omis est que, après l’application du projecteur, une information est transmise dans un registre classique. Cette information dépend du $\lambda_i$ correspondant. Par exemple, il est courant de considérer que pour $\lambda = 1$, le résultat enregistré dans le registre classique est 0, et pour $\lambda = -1$, il est 1. Je ne vais pas développer davantage sur ce sujet, n’étant pas suffisamment familier avec les propriétés physiques permettant cette interprétation matérielle.

Optimisation des calculs

Il est clair que le calcul le plus long de notre mesure sera $\mathbb{P}(E_{\lambda_i})$. En reprenant notre formule :

$$ \mathbb{P}(E_{\lambda_i}) = \dfrac{\bra{\psi} P_{\lambda_i} \ket{\psi}}{\bra{\psi} \ket{\psi}} $$

Nous savons déjà que $\bra{\psi}\ket{\psi}$ correspond au module au carré des coefficients de notre fonction d’onde $\ket{\psi}$.
Concernant le calcul de $P_{\lambda_i}\ket{\psi}$, nous avons :

$$ P_{\lambda_i} \ket{\psi} = \sum_{\ket{\phi_i} \in \mathcal{B}(E_\lambda)} \ket{\phi_i} \bra{\phi_i} \ket{\psi} $$

On constate ainsi que si $\ket{\psi}$ appartient déjà à la base $\mathcal{B} (E_\lambda)$, il suffit de lire les coefficients associés. Cela permet de grandement accélérer le calcul. Par conséquent, il peut être intéressant d’envisager de changer la base de $\ket{\psi}$ pour celle de notre espace propre $\mathcal{B}(E_\lambda)$.