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Développement De Série À La Main

Dans cet article, nous verrons une méthode permettant de développer la composition de deux séries génératrices, que nous noterons \(S \circ T\) à la main. Ce développement s’exprime sous la forme :

$$ \sum_{i} s_i \left(\sum_{j} t_j x^j\right)^i. $$

Pour illustrer cette méthode, nous supposerons que l’objectif est d’obtenir le coefficient de \(x^3\) dans ce développement.

Étape 1 : Décomposition de l’exposant

La première étape consiste à décomposer l’exposant trois en sommes d’entiers inférieurs ou égaux à 3. Les décompositions possibles sont :

$$ \begin{split} 3 &= 3,\\[1mm] &= 1 + 2,\\[1mm] &= 1 + 1 + 1. \end{split} $$

Note

Pour vérifier que nous n’avons omis aucune décomposition, voici le nombre de décompositions pour les entiers de 1 à 10 :

1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42.

Étape 2 : Expression en termes de \(S \circ T\)

Chaque décomposition permet d’identifier les termes correspondants dans la composition des séries. On associe ainsi un coefficient \(s_i\) en fonction du nombre de termes de la décomposition, et des produits de coefficients \(t_j\) correspondant aux valeurs ajoutées. Plus précisément :

  • Pour la décomposition \(3 = 3\), un seul terme est impliqué, ce qui conduit à :

    \[ s_1(t_3). \]

  • Pour la décomposition \(3 = 1 + 2\), deux termes apparaissent, et l’on écrit :

    \[ s_2(t_1 \, t_2). \]

  • Pour la décomposition \(3 = 1 + 1 + 1\), trois termes identiques sont présents, ce qui donne :

    \[ s_3(t_1 \, t_1 \, t_1) = s_3(t_1^3). \]

Ici, \(s_i\) et \(t_j\) sont respectivement les coefficients des séries \(S\) et \(T\). Le rang \(i\) de \(s_i\) correspond au nombre de termes dans la décomposition, tandis que les indices des \(t_j\) sont choisis pour que la somme de ces indices soit égale à 3.

Étape 3 : Incorporation des coefficients binomiaux

Pour tenir compte des différentes permutations des termes dans chaque décomposition, nous introduisons des coefficients multinomiaux. En reprenant les termes obtenus précédemment, nous pouvons écrire :

\[ \begin{aligned} s_1\Bigl(\binom{1}{1}\, t_3^1\Bigr) &= s_1(t_3),\\[1mm] s_2\Bigl(\binom{2}{1,1}\, t_1^1\, t_2^1\Bigr) &= s_2(2\,t_1t_2),\\[1mm] s_3\Bigl(\binom{3}{3}\, t_1^3\Bigr) &= s_3(t_1^3). \end{aligned} \]

Ici, dans la notation \(\binom{n}{k_1, k_2, \dots, k_r}\), le nombre \(n\) représente le nombre total de termes impliqués dans la décomposition, ce qui correspond à l’indice du coefficient \(s_i\). Les \(k_j\) indiquent quant à eux les exposants des différents \(t_j\). Par exemple, pour la décomposition \(3 = 1 + 2\), nous avons deux termes (donc \(n=2\)) et les exposants correspondants sont \(1\) pour \(t_1\) et \(1\) pour \(t_2\), d’où le coefficient multinomial \(\binom{2}{1,1} = 2\).

Note

Il faut se rappeler que :

$$\binom{n}{k_1, k_2, \dots, k_r} = \dfrac{n!}{\prod\limits_{i}^r k_i!}$$

Et que pour \(r = 1\) alors :

$$\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n - k)!}$$

Conclusion

En rassemblant l’ensemble des contributions, le développement pour le coefficient de \(x^3\) dans la composition \(S \circ T\) s’écrit de la manière suivante :

\[ x^3\Bigl[s_1(t_3) + s_2(2t_1t_2) + s_3(t_1^3)\Bigr]. \]

En résumé, cette méthode permet de réaliser le développement de la composition de séries à la main. Pour vous exercer, essayez de calculer, de la même manière, les coefficients du terme en \(x^4\).

Correction

Les décompositions de 4 sont :

\[ \begin{aligned} 4 &= 4,\\[1mm] &= 1 + 3,\\[1mm] &= 2 + 2,\\[1mm] &= 1 + 1 + 2,\\[1mm] &= 1 + 1 + 1 + 1. \end{aligned} \]

Correspondance avec \(s_i\) et \(t_j\) :

\[ \begin{alignat*}{3} & 4 && = 4 && \rightsquigarrow s_1(t_4),\\[1mm] & && = 1 + 3 && \rightsquigarrow s_2(t_1\,t_3),\\[1mm] & && = 2 + 2 && \rightsquigarrow s_2(t_2^2),\\[1mm] & && = 1 + 1 + 2 && \rightsquigarrow s_3(t_1^2\,t_2),\\[1mm] & && = 1 + 1 + 1 + 1 && \rightsquigarrow s_4(t_1^4). \end{alignat*} \]

Incorporation des coefficients binomiaux :

\[ x^4\Bigl[s_1\Bigl(\binom{1}{1}t_4\Bigr) + s_2\Bigl(\binom{2}{1,1}\,t_1\,t_3 + \binom{2}{2}t_2^2\Bigr) + s_3\Bigl(\binom{3}{2,1}t_1^2\,t_2\Bigr) + s_4\Bigl(\binom{4}{4}t_1^4\Bigr)\Bigr]. \]

En développant ces coefficients, on obtient :

\[ x^4\Bigl[s_1(t_4) + s_2\bigl(2\,t_1\,t_3 + t_2^2\bigr) + s_3\bigl(3\,t_1^2\,t_2\bigr) + s_4(t_1^4)\Bigr]. \]